სტანდარტულად, მაგალითად როგორ ვაჩვენოთ რომ პი მუდმივია. ჩავხაზოთ და შემოვხაზოთ წრეში/წრეზე წესიერი n კუთხედები და წავიყვანოთ n უსასრულობისკენ. ჩახაზული თუ შემოხაზული მრავალკუთხედების ფართობების მიმდევრობა ორივე იქნება კრებადი და
ზღვარში ერთმანეთის ტოლი, განმარტების თანახმად ზუსტად ეგ
ზღვარი იქნება წრის ფართობი. ერთი იმასაც გამოიყენებ რომ lim x-> 0 sin(x)/x=1 და აჩვენებ რომ ეგ
ზღვარი დამოკიდებულია წრეწირის რადიუსზე და რაღაც მუდმივზე. ბოლოს ბონუსად ამ მუდმივს დავარქმევ პი-ს
* * *
პრინციპში შემოხაზვები სულაც არ არის საჭირო, მაგრამ ზოგადად ე.წ ჟორდანის ზომა ხო ეგრე განიმარტება, რო უკვე ზომადი სიმრავლით უნდა შეავსო შიგნიდან, შემოსაზღვრო გარედან და თუ აღმოჩნდა რომ პირველის სუპრემუმი(შიდა ზომა) და მეორეს ინფინუმი(გარე ზომა) ტოლია მაშინ ეს სიმრავლეზ ზომადია და ზუსტად ეგ სუპრემუმი და ინფინუმი იქნება ამ სიმრავლის ზომა, განმარტებით. მაგრამ არსებობს სიმრავლეები სადაც ეგ გარე და შიდა ზომები არ ემთხვევა და შესაბამისად ასეთი სიმრავლეები არაზომადია. მაგალიად რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე (0,1) ინტერვალში არ არის ჯორდანის აზრით ზომადი. ამ ზომის განზოგადოება შეიძლება ისე რომ წინა მაგალითში მოყვანილი სიმრავლე 0 ზომის იყოს მაგრამ ზღვრის ცნებას ცხადია აქაც ვერ ავცდებით. ზოგადად ის რომ წრე ზომადია, მგონი არ არის ტრივიალური ფაქტი, უნდა დამტკიცება და ზღვრის ცნების გამოყენება. თუ ეგრე არ არის და სხვა გზა იცით ეგ მაინტერესებდა ზუსტად.
ანალოგიურად წირის სიგრძეზე, წირის სიგრძის გაზომვის იდეა ხო ისაა, რომ ამ წირს სეგმენტ-სეგმენტ მიუახლოვდე და ამ მიმაახლობელი სეგმენტების სიგრძეების ზღვარია წირის სიგრძეც მაგრამ არსებობს წირები რომელთათვისაც ეს ზღვარი არ არსებოს(მაგალითად შეიძლება იდეაში დამოკიდებული იყოს იმაზე თუ როგორ ვუახლოვდებით და სხვადასხვა მიახლოებით სხვადასხვა ზღვარს გვაძლევდეს) და შესაბამისად ამ წირის სიგრძესაც ვერ გავზომავთ, აღმოჩნდა და დამტკიცებულია რომ გლუვი წირების შემთხვევაში ყველაფერი კარგადაა მაგრამ ეს აქსიომა არაა, მტკიცდება და დამტკიცება ასევე აქაც იყენებს ზღვრის ცნებას თუ იდეას. როგორც გინდა ისე დაარქვი.
კონკრეტულად წრეწირის შემთხვევაში თუ არსებობს რამე ისეთი გზა რომელიც ზღვრის ცნების გარეშე ამტკიცებს რომ წრეწირის სიგრძე იზომება ეგეც მაინტერესებდა.
თორე პი-ს რო ზუსტად ვერ დავთვლი და მიახლოებით გამოთვლის გზები რომ უამრავი ეგ გასაგებია
* * *
კიდევ ერთი მაგალითი საილუსტრაციოდ,
ავიღოთ
უწყვეტი წირების შემდეგი მიმდევრობა,
წირი1 იყოს ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის კათეტები სიგრძით1, ცხადია ამ წირის სიგრძეა 2.
წირი2 ოთხმონაკვეთიანი, პირველი მონაკვეთი ჰიპოტენუზის ერთი წვეროდან გამოსული კათეტის ნახევარი, მეორე ამ კათეტის ცენტრიდან აღმართული მეორე კათეტის პარალელური მონაკვეთი ჰიპოტენუზის შუაწერტილამდე, ჰიპოტენუზის შუაწერტილიდან პირველი კათეტიკის პარალელური მონაკვეთი მეორე კათეთის შუაწერტილამდე, მეოთხე მეორე კათეტის შუაწერტილიდან ჰიპოტენუზის მეორე ბოლომდე. ცხადია ამ წრისი სიგრძეც 2-ა
წირი3 იყოს რვამონაკვეთიანი, პირველი მონაკვეთი ჰიპოტენუზის ერთი ბოლოდან გამოსული კათეტის მეოთხედი, მეორე ამ მონაკვეთის მხოლოდ კაეთეტზე მდებარე ბოლოდან მეორე კათეტის პარალელური მონაკვეთი ჰიპოთენუზასთან გადაკვეტამდე, მესამე ამ გადაკვეთის წერტილიდან პირველი კათეტის პარალელური 1/4 სიგრძის ტოლი მონაკვეთი და ა.შ ცხადია ამ წირის სიგრძეც იქნება 2.
გავაგრძელოთ ეს პროცესი უსასრულოდ მივიღებთ სიგრძით 2ის ტოლ წირების უსასრულო სიმრავლეს, რომლის ნებისმიერი წერტილიდან მანძილი ჰიპოტენუზამდე მიდის მიდის 0სკენ. ანუ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წირები სიგრძით 2 უახლოვდება მონაკვეთს სიგრძით ფესვი2. ინტუიციურად აქ პრობლემა იმაშია რომ ეს წირები რომლითაც ვუახლოვდებით მონაკვეთს "ზედმეტად იკლაკნება"
. ახლა შევატრიალოთ, ვთქვათ თავიდან აღებული წირი არის "ზედმეტად დაკლაკნილი" მაშინ ამ წირს როცა სეგმენტებით მიუალოვხდები ვერ იტყვი რომ ამ მიმაახლოებელი სეგმენტების სიგრძეების ზღვარია თავიდან მოცვემუმლი წირის სიგრძე. ასვე გასაგებია, რომ ინტიუცირუად წრეწირს რო დახედავ ისეთი ფორმა აქვს ივარაუდებ ადამიანი რომ მსგავსი ანომალია არ მოხდება, მაგრამ ამ ყველაფერს უნდა მკაცრად მათემატიკურად გაფორმება. მაგალითად შემოდის გლუვი წირის განამრტება, მაგრამ ამას ჭირდება წარმოებულის და შესაბამისად ზღვრის ცნება.
მოკლედ რატო ვილაპარაკე ამდენი, თუ ადამიანი არ იღებს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის უწყვეტობის აქსიომას, (საიდანაც პირდაპირ გამოდის რომ 0.(9)=1) შესაბამისად ნამდვილ სიდიდეთა ზღვრის განმარტებაში და თვისებებშიც არ იქნება მისთვის ყველაფერი მისაღები ასეთ პირობებში pi-ზე რამის მკცრად მათემატიკურ მტკიცებას მგონი აზრი არ აქვს.
ამიტომ გეუბნებით ზღვრის ცნების გარეშე თუ შეგიძლიათ პის მუდმიოვიბის მტკიცება მეთქი, მანდ შეიძლება იყოს ხსნა
This post has been edited by gaucho on 24 Sep 2021, 19:38