ამოხსნის სტრატეგიას გეტყვი, რომელიც პრინციპში გაძლევს საშუალებას დაადგინო რა სახის რიცხვების აგება შეიძლება, თუ მოცემული გაქვს ერთეული.
1) დავუშვათ გვაქვს მოცემული სიგრძის ერთეული. მაშინ, შესაძლებელია ააგო M, N, M/N, M*N, M-N, M+N სიგრძის მონაკვეთები, სადაც M და N ნატურალური რიცხვებია. M-ის და N-ის აგება მარტივია-ერთეულს გადაზომავ წრფეზე M-ჯერ და N-ჯერ თანმიმდევრობით ფარგლის საშუალებით. M-N, M+N აგებაც ძალიან მარტივია. M/N, M*N ასაგებად გამოიყენებ თეორემას: თეორემის სახელი დამავიწყდა. მარა ეს თეორემა ასე ჟღერს. დავუშვათ გავავლეთ OK სხივი. მერე O წერტილიდან ავღმართეთ პერპენდიკულარული OL სხივი. ახლა გავავლოთ ორი მონაკვეთი N1M1 და N2M2, რომელნიც ერთმანეთის პარალელურია და OK და OL სხივს კვეთენ N1 და M1 წერტილებში (N1M1-სათვის) და N2 და M2 წერტილებში (N2M2) მონაკვეთებისათვის. ეს მონაკვეთები OL-ზე შექმნის 2 მონაკვეთს OM1 და OM2, ხოლო OK-ზე ორ მონაკვეთს ON1 და ON2. თეორემა ამბობს, რომ OM1/OM2=ON1/ON2 (და =M1N1/M2N2). ახლა ისე აარჩევ ამ 4 მონაკვეთებიდან 3-ს (მაგალითად OM2, ON1 და ON2-ად შეარჩიო M, N და 1 სიგრძის ტოლი მონაკვეთი), რომ OM1 გამოვიდეს M*N ან M/N სიგრძის ტოლი.
სურათის მიმაგრება მინდა, მარა იმდენად უფრო შრომატევადია პეინტში ამის გაკეთება, რომ დაწერა მირჩევნია.
მოკლედ, აგების ამ მეთოდებით შეგიძლია ააგო ყველა სახის რაიონალური მონაკვეთების სიმრავლე, რომელიც წარმოადგენს ფაქტიურად ველს (2 ოპერაციით +, *, მიმატების და გამრავლების ერთეულით და ყველა დარჩენილი კანონებით). ეს ველი ავღნიშნოთ Q-თი (გასაგებია, რომ R-ის ქვეველია).
2) ამ ველიდან შეიძლება ახალი ველის აგება, რომელიც უფრო გაფართოებულია და რომელშიც შევა √K სიგრძის მონაკვეთები. √K მონაკვეთი რომ ააგო, ააგე ჯერ AOB მონაკვეთი, რომლის სიგრძეა K+1, ისე, რომ AO=1 და OB=K. AOB მონაკვეთის შუა წერტილიდან შემოავლე (K+1)/2 რადიუსის წრე (ამისათვის ყველა წერტილი გვაქვს უკვე ნაპოვნი). O წერტილიდან აღმართე პერპენდიკულარი, რომელიც მოცემულ წრეს გადაკვეთს L წერტილში. ამრიგად, მიიღებ ALB სამკუთხედს, რომელიც მართკუთხა სამკუთხედია თალესის თეორემის თანახმად. აქედან შეგიძლია დაადგინო, რომ OL მონაკვეთის სიგრძე არის √K.
ახლა შექმნი ახალ ველს, რომლის ელემენტებს აქვთ ზოგადი ფორმა M+N*√K, სადაც M, N და K არის Q ველის ელემენტები, ანუ რაციონალური რიცხვები, მაგრამ √K სახის უკვე ახალი ველის ელემენტია და არ შედის Q-ში. ავღნიშნოთ ეს ახალი ველი F1. ცხადია, რომ Q<F1 ("<" აღნიშნავს "ქვეველია"). ასევე შეგიძლია შექმნა ახალი ველი F2, რომლის ელემენტებია F1-ის ელემენტები და აქვს M+N*√K სახე (M, N და K არის F1-ის ელემენტები). ასე შეგიძლია გააგრძელო უსასრულოდ და მიიღო
Q<F1<F2<F3<...<F(N)<F(N+1)<...
ამის მერე კიდევ საჩალიჩოა, ამიტომ ზოგადად მოვხაზავ მტკიცებას და ამის არსს. ნებისმიერი ასეთი აგებისას გაქვს სამ გზა:
A) შეგიძლია მოძებნო იმ 2 მონაკვეთის გადაკვეთის წერტილები, რომლის საწყისი და საბოლოო წერტილები უკვე ნაპოვნი გაქვს.
B) მოძებნო იმ წრისა და მონაკვეთის გადაკვეთის წერტილი, რომლის საწყისი და საბოლოო წერტილი ცნობილია (მონაკვეთისათვის) და ცენტრი და რადიუსი ცნობილია (წრისათვის).
C) იპოვო ორი წრის გადაკვეთის წერტილები, რომელთა ცენტრები და რადიუსები ცნობილია.
A-ს შემთხვევაში შეგიძლია ააგო მონაკვეთები, რომლებიც მიიღებიან მხოლოდ გამოკლების, მიმატების, შეკრების და გაყოფის ოპერაციებით. B-ს და C-ს შემთხვევაში შეგიძლია მიიღო მონაკვეთები, რომლის სიგრძე უკვე მიღებული მონაკვეთების კვადრატულ ფესვს წარმოადგენს. მეტი სხვა სახის მონაკვეთების მიღება შეუძლებელია.
ახლა გადადიხარ მტკიცების საბოლოო ეტაპზე. ჯერ აჩვენებ, რომ 2^(⅓) არის ირაციონალური რიცხვი და ამრიგად არ ეკუთვნის Q-ს. მერე დაუშვებ, რომ F(N)-ში (ან რამოდენიმე ველში) არსებობს ასეთი რიცხვის აგების საშუალება და განიხილავ ისეთ F(N)-ს სადაც N არის მინიმალური, ანუ ყველაზე დაბლაა, ანუ აღარ არსებობს მის დაბლა F(N-K)-ში 2^(⅓)-ის აგების საშუალება. დავუშვათ ეს რიცხვი არის G=M+N*√K, სადაც M, N და K არის F(N-1)-ის წევრი და √K არის F(N)-ის წევრი. G აკმაყოფილებს შემდეგ ტოლობას: G^3-2=0. ამ განტოლებაში რომ შეიტან G=M+N*√K და გაანალიზებ, მიიღებ წინააღმდეგობებს, რომ √K უნდა იყოს ასევე F(N-1)-ის წევრი. ეს შენ თვითონ გააკეთე, არ არის ძნელი.
ფორმალობის დაცვას და დეტალების გარკვევას შენ გაცილებით უფრო კარგად მოახერხებ, ვიდრე მე. მე უბრალოდ არსი გითხარი, რომელიც გადმოცემულია ერთ კაი წიგნში.
ერთ რამეს მივამატებ კიდევ, რომელიც მოგეხმარება სხვადასხვა რამეში. რანაირი სიგრძის მონაკვეთიც არ უნდა ააგო, ასეთი მონაკვეთის სიგრძე ყოველთვის იქნება გამოსახული ლაგებრულ რიცხვებში, რომელიც რომელიღაც პოლინომიალის ფესვს წარმოადგენს. შესაბამისად, ვერრცერთი ტრანსცენდენტალური რიცხვი ვერ აიგება სახაზავით და ფარგლით. ამით აჩვენა ლინდემანმა (რომელმაც პირველად დაამტკიცა, რომ pi არის ტრანსცენდენტალური რიცხვი), რომ წრის კვადრატურის აგება შეუძლებელია. წრის კვადრატურა რომ ააგო (ანუ მოცემული გაქვს წრე და უნდა ააგო კვადრატი, რომლის ფართობი ამ წრის ფართობის ტოლია-ეს პრობლემა არის უძველესი პრობლემა), უნდა შეგეძლოს pi რიცხვის აგება (რაც მარტივი საჩვენებელია). მაგრამ, pi ტრანსცენდენტალური რიცხვია და შესაბამისად პოლინომიალის (რაციონალური კოეფიციენტებით) ფესვს არ წარმოადგენს, და შესაბამისად შეუძლებელია მისი აგება.
_Paataდაგიწრია უკვე მოკლედ და ლამაზად
This post has been edited by vano_t on 16 Jan 2010, 14:22 
· 
რამდენიმე კითხვა მათემატიკოსებს
თბილისის ფორუმი -> თემატური ფორუმი -> მეცნიერება და განათლება -> ტექნიკური და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები
