რესპუბლიკური იყო უკვე და ყველანაირი ინფორმაცია არის
http://www.komaroveli.ge -ზე
მე მათემატიკაში 25 ქულით I-ზე გავედი, ხოლო ფიზიკაში 13-ით II-ზე, არადა ფიზიკა ვაბშე არ მიმეცადინებია და კიდე, III ამოცანა პირობა გავიგე სხვანაირად, თორე ამოხსნა ვიცოდი (განაკეთები მქონდა ადრე) ხოდა 17 ქულით I ხარისხს ვიღებდი, ახლა II ხარისხი მომცეს.
* * *
შესარჩევის ამოცანები: (მარტივები იყო, რაები ვერ ამოვხსენი
)
I დღე1) იპოვეთ ყველა ნატურალური კენტი რიცხვი n , რომ (n²-1)-ის ყველა ნატურალური გამყოფის რაოდენობა იყოს 10.
2) I არის ABC სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრი. B კუთხის ბისექტრისა AC-ს კვეთს P წერტილში. დაამტკიცეთ , რომ თუ კუთხე C =კუთხე A/2 მაშინ , სამკუთხედი AIP ტოლფერდაა.
3) იპოვეთ x²+ax+b=0 განტოლების ყველა ნამდვილ ამონახსნთა სიმრავლე , როცა a და b იცვლებიან [-2 ; 2] სეგმენტზე.
II დღე1) დაამტკიცეთ , რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობა ნატურალურ რიცხვთა (m ; n) წყვილებისა , რომელთათვისაც
(m+1)/n+(n+1)/m
არის ნატურალური რიცხვი.
2) ABC მახვილკუთხა სამკუთხედში AB>AC. ვთქვათ O არის ABC სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრი , ხოლო H კი ორთოცენტრი. O და H წერტილებზე გამავალი წრფე AB და AC გვერდებს კვეთს , შესაბამისად , P და Q წერტილებში ისე , რომ AP=AQ. გამოიანგარიშეთ tg A.
3) დაამტკიცეთ , რომ ყოველი n≥4 ნატურალური რიცხვისთვის ნებისმიერი სამკუთხედი შეიძლება დაიყოს ზუსტად n ცალ ტოლფერდა სამკუთხედად.
III დღე1. ვთქვათ 0<Xi<1, i=0,1,2,....,669
უ.დ. რომ მოიძებნება ისეთი წყვილი (Xi,Xj) რომ შესრულდეს შემდეგი უტოლობა:
0<=Xi*Xj*(Xj-Xi)<1/2007
2.წრეწირში ჩახაზულია ოთხკუთხედი ABCD. წერტილები L და M არიან, შესაბამისად ABC და DBC სამკუთხედებში ჩახაზული წრეწირის ცენტრები. L წერტილიდან AC გვერდზე დაშვებული მართობი და M წერტილიდან BD გვერდზე დაშვებული მართობები იკვეთებიან R წერტილში. უ.დ. რომ RL=RM
3. იპოვეთ ყველა მარტივი რიცხვი P, რომლისთვისაც (2^(P-1)-1)/P იქნება სრული კვადრატი.
IV დღე1. წრეწირზე 2008 მთელი რიცხვი განლაგებულია ისე, რომ ნებისმიერი ხუთი თანამიმდევრული რიცხვიდან რომელიღაც სამის ჯამი დანარჩენი ორის ჯამზე ორჯერ მეტია. იპოვეთ ეს რიცხვები.
2. ABC მახვილკუთხა სამკუთხედში M და N არიან, შესაბამისად BB1 და CC1 სიმაღლეების შუა წერტილები. AM და CC1 მონაკვეთები იკვეთებიან P წერტილში, ხოლო AN და BB1 კი Q წერტილში. უ.დ. რომ თუ B, C, Q, P წერტილებზე შემოიხაზება წრეწირი, მაშინ AB=AC
3. იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც განტოლებას
x^3-a*x^2+(a^2-1)*x-a^2+a=0
ექნება სამი განსხვავებული ნამდვილი ამონახსნი, რომლებიც არითმეტიკული პროგრესიის წევრებია.
ოლიმპიელთა კლუბი, მათემატიკა, ფიზიკა, ინფორმატიკა, ქიმია, ბიოლოგია..
