მე რომ სკოლაში ვიყავი, მაინტერესებდა რა კავშირი ჰქონდა რიმანის ზეტა-ფუნქციას მარტივ რიცხვებთან. ხოდა ვინც სკოლაშია და აინტერესებს, აქ მოვიყვან სახალიხო მაგალითს: როგორ დავთვალოთ 1,000,000-ზე ნაკლები მარტივი რიცხვების რაოდენობა მარტივი რიცხვების ჩამოთვლის გარეშე. ეს არანაირად არაა ტრივიალური -- როგორც ვიცით, არ არსებობს მარტივი რიცხვების დამთვლელი ალგებრული ფუნქცია. რიმანის ზეტა-ფუნქციასა და მარტივ რიცხვებს შორის კავშირი ნამდვილად მათემატიკის სილამაზეა.
განსაზღვრებები მარტივი ენით- პი-ფუნქცია π(x) ნამდვილი ცვლადის x ფუნქციაა.
მარტივი რიცხვების რაოდენობა ნამდვილ რიცხვ x-ამდე (ჩათვლით)
მაგალითად: π(11)=5, π(11.4)=5.
- რიმანის ზეტა-ფუნქცია ζ(s) კომპლექსური ცვლადის s = σ + it ფუნქციაა. როცა Re[s]>1,
რიმანის ზეტა-ფუნქცია ზემოთმოყვანილი ფუნქციის (რომელიც σ>1-ზეა განსაზღვრული) ანალიტიკური გაგრძელებაა.
რიმანის ზეტა-ფუნქციის ნულია ყველა უარყოფითი ლუწი რიცხვი. ამ ფუნქციის ყველა სხვა ნულს არატრივიალური ნული ეწოდება.
- ლოგ-ინტეგრალის ფუნქცია Li(x) ნამდვილი (და კომპლექსური) ცვლადის x ფუნქციაა.
(1/lnt არაა განსაზღვრული t=1-ზე, მაგრამ ამის გვერდით ავლის გზა არსებობს, რომელსაც აქ არ განვიხილავთ)
- მოებიუსის μ-ფუნქცია არიის ნატურალური n-ის ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს
- μ(1)=1
- μ(n)=0, თუ n მთელი რიცხვის კვადრატზე იყოფა
- μ(n)=-1 თუ n მარტივია, ან თუ n კენტი რაოდენობის განსხვავებული მარტივი რიცხვის ნამრავლია
- μ(n)=1 თუ n ლუწი რაოდენობის განსხვავებული მარტივი რიცხვის ნამრავლია
- 1859 წელს რიმანმა მოიგონა ე.წ. f-ფუნქცია (ეს „f“-ის დარქმევა იმდროინდელი კონვენცია იყო). მოსახერხებლობისთვის მას J-ფუნქცია ვუწოდოთ. ნებისმიერი არაუარყოფითი x-ისთვის
- მოებიუსის ინვერსიის მეშვეობით პი-ფუნქცია შეგვიძლია J-ფუნქციით გამოვსახოთ:
უფრო მოკლედ და ზემოთ მოცემული μ-ფუნქციის გამოყენებით ეს ასე ჩაიწერება:
- 1859 წელს გამოცემული რიმანის დისერტაციის მთავარი შედეგია:
სადაც ჯამი
რიმანის ზეტა-ფუნქციის ყველა არატრივიალურ ნულ ρ-ზეა. აჯამვა ხდება შემდეგი მიმდევრობით: 
- უხეშად რომ ვთქვათ:
- პი-ფუქნცია J-ფუნქციით გამოისაახება;
- J-ფუნქცია რიმანის ზეტა-ფუნქციით გამოისახება;
- მაშასადამე, პი-ფუნქცია რიმანის ზეტა-ფუნქციით გამოისახება.
-------------------
რამდენი მარტივი რიცხვია 1,000,000-ზე ნაკლებიმარტივი რიცხვების ჩამოთვლის გარეშე დავთვალოთ რამდენი მარტივი რიცხვია 1,000,000-ზე ნაკლები, ანუ რას უდრის
ზემოთ მოყვანილით ვიცით, რომ
აქამდე ალბათ მივხვდით, რომ
J-ფუნქცია სულაც არაა უსასრულო ჯამი და
რადგან
და ა.შ.
π(1,000,000), როგორც ზემოთ დავწერეთ, 13 წევრის ჯამია.
J-ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, თითოეული ეს წევრი 4 კომპონენტისგან შედგება.
π(1,000,000)-ს გამოთვლას ეყოფა ერთი ცხრილი, რომელსაც ქვემოთ შემოგთავაზებთ:
მეორე, მეოთხე და მეხუთე სვეტში არსებული რიცხვის გამოთვლას სჭირდება უბრალო კალკულაცია;
მესამე სვეტში არსებული რიცხვის გამოთვლას სჭირდება უსასრულო ჯამის გაკეთება რიმანის ზეტა-ფუნქციის არატრივიალურ ნულებზე.
ის, რომ მარტივი რიცხვები დავთვალეთ მათი ჩამოთვლის გარეშე, ჩემთვის აღმაფრთოვანებელია
წყაროები:
Derbyshire,
Edwards,
Wolfram MathWorldთარგმანი და ცოტა ტვინი წმინდაჲსი ვანჩოჲსი This post has been edited by Vancho on 5 Mar 2012, 22:50 
π(1,000,000)-ის „სახალისო“ გამოთვლა ზეტათი, პოპულარული ენით
თბილისის ფორუმი -> თემატური ფორუმი -> მეცნიერება და განათლება -> ტექნიკური და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები
